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欧拉常数c_欧拉常数

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1、欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下:由于ln(1+1/n)<1/n (n=1,2,3,…)于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞所以Sn的极限不存在,调和级数发散。

2、但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)却存在,因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn单调递减。

3、由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)存在。

4、于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数。

5、在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等。

6、例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞),可以这样做:lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞)=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)](n→∞)-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)+lim[ln(n+n)-ln(n)](n→∞)=γ-γ+ln2=ln2。

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